Calcule a área do conjunto de todos os pontos (θ, ρ) tais que θ² ≤ ρ ≤ θ (coordenadas polares).

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... antes de tudo, vamos esboçar as duas curvas no plano polar:

Onde a curva vermelha é r = θ e a azul é r = θ 2 .

Bom... devemos saber que a área de uma curva polar r em um intervalo θ ∈ a , b , é dada por:

A = ∫ a b r 2   d θ

Sabendo disso, devemos pegar curva da maior área (vermelha) e subtrair pela curva de menor área (azul)!!

E aí? Bora lá aplicar?

😉

Passo 2

Pela figura, vemos que as curvas se cruzam em θ = 0 e θ = 1 , que são os nossos intervalos de integração!

Nesse sentido, temos:

A = 1 2 ∫ 0 1 θ 2   d θ - 1 2 ∫ 0 1 θ 4   d θ ∴

A = 1 2 ∫ 0 1 θ 2 - θ 4   d θ

Resolvendo a integral, temos:

A = 1 2 θ 3 3 - θ 5 5 1 0 ∴

A = 1 15

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A = 1 15

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