UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Rafael Rossato - Integrais com coordenadas polares, Questão 3c
Calcule a área da intersecção das regiões limitadas pelas curvas dadas em coordenadas polares.
(c) e
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá duas equações dadas em coordenadas polares:
Sabendo disso, a questão nos pede para calcularmos a área da intersecção das regiões limitadas pelas curvas dadas.
Para isso, primeiramente devemos descobrir onde elas se intersectam. Nesse sentido, teremos os nossos intervalos de integração.
Depois, para descobrir a área, devemos lembrar da seguinte fórmula:
Que nada mais é do que a área para coordenadas polares.
E aí? Bora lá aplicar?
😉
Passo 2
Então... igualando as duas equações para descobrir onde elas se intersectam, temos:
Pelo círculo trigonométrico, vemos que .
Plotando as duas curvas, temos:
Na imagem a gente pode ver também que a intersecção ocorre em para e , para .
Dessa forma, para vamos considerar o intervalo e, para , .
Passo 3
Dessa forma, para encontrar as duas áreas que estamos fazendo de forma separada, temos:
E
Agora vamos resolver nossas integrais!!
Passo 4
Para , temos:
A integral do seno é o negativo do cosseno, portanto:
Agora, para , temos:
A integral do cosseno é o seno, portanto:
Dessa forma, somando as duas integrais, temos:
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
