UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Rafael Rossato - Integrais com coordenadas polares, Questão 3d
Calcule a área da intersecção das regiões limitadas pelas curvas dadas em coordenadas polares.
(d) e
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá duas equações dadas em coordenadas polares:
Sabendo disso, a questão nos pede para calcularmos a área da intersecção das regiões limitadas pelas curvas dadas.
Para isso, primeiramente devemos descobrir onde elas se intersectam. Nesse sentido, teremos os nossos intervalos de integração.
Depois, para descobrir a área, devemos lembrar da seguinte fórmula:
Que nada mais é do que a área para coordenadas polares.
E aí? Bora lá aplicar?
😉
Passo 2
Então... igualando as duas equações para descobrir onde elas se intersectam, temos:
ou ou
Plotando as duas curvas, temos:
Pelo gráfico acima, podemos ver é melhor calcularmos a função para o intervalo e para o intervalo .
Passo 3
Dessa forma, para encontrar as duas áreas que estamos fazendo de forma separada, temos:
E
Agora vamos resolver nossas integrais!!
Passo 4
Para , temos:
Sabendo que , temos:
Agora, para , temos:
Sabendo que , temos:
Dessa forma, somando as duas integrais, temos:
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
