Calcule a área da região hachurada na figura abaixo

Passo 1

Oi, tudo bem?

Vamos calcular essa área aqui

Quando integramos procuramos a função que está mais em cima e a que está mais embaixo. No nosso caso vamos precisar dividir essa região em duas! A primeira com a curva em vermelho mais em cima e a azul embaixo (de zero até um), e outra com a curva verde mais em cima e a azul embaixo (de um até dois)

Mas não temos as curvas vermelha e azul! Mas são duas retas!

Então aqui atenção: vamos começar encontrando as equações das retas vermelha e azul, e depois é partiu integrar!

Bora começar?

Passo 2

Vamos começar pela reta vermelha:

Ela passa pela origem ( 0,0 ) e pelo ponto ( 1,1 ) , então sua equação é

y = x

Beleza? Agora a curva azul: ela também passa pela origem ( 0,0 ) mas passa pelo ponto 2 ; 0,5 , assim sua equação é

y = x 4

Tudo bem até aqui? Agora é partiu integração!

Passo 3

Integrando temos

∫ 0 1 x - x 4 d x + ∫ 1 2 1 x - x 4 d x = x 2 2 - x 2 8 0 1 + ln ⁡ x - x 2 8 1 2

Agora é só aplicar os limites de integração

= 1 2 - 1 8 + ln ⁡ 2 - 2 2 8 - ln ⁡ 1 - 1 8 = 3 8 + ln ⁡ 2 - 4 8 + 1 8 = ln ⁡ 2

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

ln ⁡ 2

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Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = sin ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = x - 4 , 1 ≤ x ≤ 6
Calcule a integral, interpretando-a em termos das áreas. ∫ - 1 3 3 - 2 xd x