UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, 1º Estágio - 2022.1, Questão 5
Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo , da curva , com .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a área da superfície gerada pela curva , quando ela gira em torno do eixo .
Nesses casos de revolução em torno do eixo , quando a gente tem uma função contínua e derivável em um intervalo (que no nosso caso é o intervalo ), a área da superfície gerada vai ser calculada pela fórmula:
Onde e é a derivada dessa função. Além disso, é o intervalo, que nós já definimos. Então, vamos substituir esses dados na equação e calcular a integral para encontrar o valor da área.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada de . Mas antes, pra facilitar nossas contas, vamos lembrar que é a definição de . Então, temos . Derivando essa função, vamos obter:
Elevando ao quadrado e somando , temos:
Usando a identidade trigonométrica , vamos ficar com:
Colocando isso na raiz quadrada:
Agora podemos substituir isso na integral.
Passo 3
Lembrando que e , montamos nossa integral:
Fazendo esse produto e colocando a constante pra fora da integral:
Calculando a integral, temos:
Aplicando os intervalos de integração, temos nossa área:
Ou
Valeu, galera! Até a próxima! 😉