UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, 1º Estágio - 2022.1, Questão 3
Calcule o comprimento do astróide definido pelas seguintes equações paramétricas:
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o comprimento do astroide definido por e . Mas o que é um astroide? Isso não interfere muito na nossa resolução, mas um astroide é o gráfico de uma curva que se assemelha com uma estrela. Esse é o gráfico do nosso astroide:
Nós vamos precisar lembrar que o comprimento de uma curva é dado por:
Onde e representam as derivadas de e e é nosso intervalo de integração. Como a nossa figura é simétrica, a gente pode dividir o nosso intervalo, que vai de a , em partes de a (para evitar que nossa integral seja zerada, percorrendo o caminho circular).
Então, vamos derivar nossas componentes, e , elevá-las ao quadrado e colocar dentro da raiz para calcular a integral e obter o comprimento da curva.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando e , usando a Regra da Cadeia:
Elevando elas ao quadrado, temos:
Agora vamos somar os resultados:
Colocando em evidência:
Usando a identidade trigonométrica , temos:
Agora vamos colocar esse resultado na raiz e calcular a integral.
Passo 3
Substituindo dentro da raiz em:
Temos:
Tirando a raiz quadrada:
Colocando a constante pra fora da integral:
Mas lembra que nós definimos nosso intervalo em partes de a ? Então temos:
Passo 4
Pra resolver essa integral, a gente pode tentar uma substituição, fazendo , temos:
Assim, nossa integral vai ficar:
Integrando em relação a :
Voltando pra nossa variável original, substituímos no lugar de :
Aplicando os limites de integração:
Assim, temos nosso comprimento:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉