UFU, Sem Campus, Cálculo 2, P1 - 2022.1, Questão 2.
2 – Calcule, com detalhes, a área da região de uma “pétala” da rosácea de três “pétalas” dada pela equação .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nesse problema temos que calcular a área de uma pétala da imagem que foi dada e a única informação que foi dada é que a curva que gera esse gráfico é dada por .
E aí, como podemos fazer isso? 😁
Como nossa curva está parametrizada em coordenadas polares, para encontrar essa área temos que calcular uma integral com variando de a e como estamos interessados em apenas uma pétala, podemos aplicar o intervalo a em .
Entendeu? Bora começar! 😉
Passo 2
Montando nossa integral, sabendo que na integral de uma área, a função de integração é , aplicando os limites de integração e adicionando nosso jacobiano , temos
Integrando pelo método de integração polinomial, chegamos em
Aplicando os limites de integração
Integrando o resultado em relação a
Como o e o são defasados de entre eles, podemos dizer que , ou seja
Aqui temos que usar uma identidade trigonométrica que diz
Ou seja
Tirando a constante da integral, temos
Tranquilo até aqui? 🤔
Passo 3
Como a integral da soma é igual a soma das integrais, então
Na integral de , sabemos que o resultado é simplesmente
Já na integral de temos que aplicar o método da substituição
Fazendo , temos que , ou seja
Adaptando também os limites de integração, temos
Resultando em
Pelo teorema fundamental do cálculo, a integral de é igual a , assim, alpicando os limites de integração...
Substituindo esses resultados no nosso problema, temos que
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
