Considere as funções e . Calcule a área da região delimitada pelos gráficos de e
Passo 1
Encontrar os limites de integração
A gente já ta careca de saber que a integral de uma função qualquer é igual à área abaixo da curva dessa função, não é mesmo? Mas pra calcular áreas, precisamos de limites de integração! E bem, não temos.
Mas não se desespere! Até porque a área que vamos calcular é uma região delimitada por duas funções. Em matematiquês, isso quer dizer que pelo menos duas vezes essas funções vão se interceptar, fechando a região com a área que queremos calcular. Pra saber em que pontos isso acontece, basta a gente fazer:
Se fizermos:
Ficamos com:
E por Bhaskara:
Mas como não existe, então:
E voilà! Achamos nossos limites de integração: e
Passo 2
Descobrir qual função está por cima e qual está por baixo
Como a integral é a área abaixo da curva até o eixo , pra calcularmos a área da nossa região corretamente, temos que ficar de olho. Isso porque a área vai ser a integral da curva que está por cima menos a que está por baixo. Assim, a área final calculada vai ser
Pra saber qual a função que está por cima é mole: só precisamos ver qual tem o maior valor, dado um qualquer. Escolhendo, por exemplo, , vamos ter:
Se pegar qualquer outro valor de dentro do intervalo dos limites de integração, vamos ter sempre que:
E, portanto:
E a área vai ficar:
Graficamente, temos:
Passo 3
Calcular a área e partir pro abraço
Show de bola, agora é só calcular a área:
E como a integral:
É uma daquelas integrais que vem pronta, podemos partir pro cálculo da área: