Considere as funções e . Esboce e calcule a área da região limitada pelos gráficos de e no intervalo .
Passo 1
Cara, para esboçar essa região , a gente precisa esboçar as curvas e no mesmo plano, e identificar a região que está entre elas no intervalo , beleza? E como a gente faz isso?
Nossas funções são:
Essa primeira função pode ser reescrita assim:
Ela é uma raiz cúbica. As raízes tem um cara bem parecida. Saca só como é a cara da raiz quadrada:
A raiz cúbica vai ser parecida, mas só que mais coladinha ao eixo e ela também vai ter a parte negativa. Então fica assim:
E é uma parábola que passa pela origem virada para cima:
Colocando essas duas coisas no mesmo plano, e marcando a região entre elas no intervalo , achamos essa região aqui:
Passo 2
E para achar a área entre curvas que são funções de , a gente precisa montar a fórmulinha:
A representa a função que limita a nossa região por cima, e a função que limita a nossa região por baixo.
Olhando ali no nosso desenho, vemos que quem limita nossa região por cima é a e quem limita nossa região por baixo é a função .
Aí a gente tem que para o nosso caso:
E na fórmula, é o intervalo em que nossa região está. Do enunciado temos que nossa região está no intervalo , então:
E aí a nossa integral para calcular a área fica:
Passo 3
Agora é calcular essa belezura.
Uma propriedade diz que podemos fazer a integral de cada uma das funções e depois fazer a subtração:
Percebe que nessas duas integrais, a gente pode usar a regrinha:
Para a primeira integral temos e para a segunda temos . Ficamos assim então:
Resposta
