1. Observando a figura, vemos que a parábola é do tipo deitada e com vértice na origem, logo sua equação é do tipo . Como ela passa pelo ponto podemos substitui-lo nessa equação e encontrar o coeficiente :

Agora temos a equação dessa parábola, que é:

Passo 2

Agora falta achar a equação da reta, que genericamente é

Se substituirmos os dois pontos dados por onde a reta passa, vamos conseguir descobrir os coeficientes e .

Opa! Descobrimos o coeficiente linear da reta. Agora vamos substituir o outro ponto:

Portanto a equação da reta é

Passo 3

2. Vamos tentar entender o que é essa região dada, que está compreendida entre os gráficos da parábola e da reta.

x , dá pra ver que os valores de são sempre maiores ou iguais à parábola. Isso fica mais claro olhando pra essa figura:

Matematicamente, a gente pode escrever isso dessa forma:

y , vemos que os valores de estão sempre acima ou são iguais a reta, como mostrado na figura:

Escrevendo essa conclusão em “matematiquês” vamos ter:

Portanto, a região pode ser descrita pelas desigualdades:

Passo 4

3. Como o item pede pra gente determinar uma integral que represente a área da região , sabemos que essa integral precisa der definida. Então, primeiro temos que achar as interseções entre as curvas pra podermos saber o intervalo de integração que vamos usar na integral. Pra isso, podemos substituir a equação da parábola na da reta:

Substituindo os valores de encontrados na equação da reta vamos obter os valores de , e os pontos de interseção vão ser:

E

Passo 5

Olhando em relação ao eixo , a área de corresponde a área abaixo da reta menos a área abaixo da parábola, então dentro da nossa integral ficaria uma coisa assim:

Como não podemos integrar em relação a duas variáveis, vamos reescrever a equação da reta de modo a tirar a variável (já que estamos olhando em relação ao eixo a integral será em relação à ).

Voltando pra subtração que fizemos ali em cima, o que teríamos então dentro da integral seria:

Passo 6

Só falta a gente definir qual vai ser o intervalo de integração. Perceba que o varia de um ponto de interseção ao outro, então vamos integrar de

até

Passo 7

Agora é só montar a integral!

Passo 8

4. Pra calcular a área de temos que resolver a integral definida que acabamos de determinar. Vamos primeiro integrar indefinidamente a função, assim:

Voltando pra integral definida, ficamos com:

Resolvendo:

Pronto! A área de equivale a