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Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Laís Rodrigues - 1ª Lista - Integrais de Linha e de Superfície, Questão 14b

Determine a área da superfície:

  1. A parte do cone z = x 2 + y ² que se encontra entre o plano y = x e o cilindro y = x 2

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?

Para calcularmos a nossa área, vamos usar a fórmula:

A = ∬ 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Passo 2

Vamos começar derivando:

z = x 2 + y ²

∂ z ∂ x = 2 x 2 x 2 + y ² = x x 2 + y ²

∂ z ∂ y = 2 y 2 x 2 + y ² = y x 2 + y ²

Elevando ao quadrado:

∂ z ∂ x 2 = x ² x 2 + y ²

∂ z ∂ y 2 = y ² x 2 + y ²

Aplicando tudo na fórmula:

A = ∬ 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

A = ∬ 1 + x 2 + y ² x 2 + y ² d A = ∬ 2 d A

Passo 3

Ok, agora precisamos determinar o intervalo de integração. Pelo enunciado, vamos determinar que o intervalo de x :

0 ≤ x ≤ 1

E pelo enunciado temos:

P l a n o → y = x

C i l i n d r o → y = x ²

Com isso, podemos determinar:

x ² ≤ y ≤ x

Aplicando na integral:

A = ∫ 0 1 ∫ x ² x 2 d y d x = 2 ∫ 0 1 ( y ) x ² x d x

A = 2 ∫ 0 1 ( x - x 2 ) d x = 2 x 2 2 - x 3 3 0 1

A = 2 1 2 - 1 3 = 2 6

Resposta

A = 2 6

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