UFBA, Sem Campus, Cálculo B, Listas de Cálculo B - UFBA - Lista 1, Questão 3.3g
Determine o centróide da região limitada por:
Passo 1
Eaew, tudo certinho?
Nós temos que determinar o centróide da região delimitada pelas curvas
e
esta é uma região arbitrária, que pode ser visualizada como
o centróide aqui será indicado com um ponto com duas coordenadas (estamos em uma região bidimensional), estas coordenadas são calculadas usando
e
Ou seja, nós temos duas integrais para resolver, isso será feito mudando o infinitesimal de área que escolhemos! Saca só!
Passo 2
Para integrarmos primeiro em , vamos escolher um infinitesimal de área com largura como indicado
Note que este infinitesimal de área é dado como a área do retângulo de altura , ou seja, temos que
de forma que a integral de área é dada por
usando as integrais conhecidas para seno e cosseno, temos que
ou simplesmente
Eu calculei essa área primeiro pois será utilizada em ambas as coordenadas, você pode calcular ela integrando com um infinitesimal em da mesma forma! Agora, vamos calcular as coordenadas!
Passo 3
Para calcular a coordenada temos que calcular a seguinte relação
o é apenas para diferenciar todos os que aparecem dentro da integral. Podemos igualmente escrever a expressão como
obtendo então a integral
Estas integrais precisam ser resolvidas por partes! Vamos lá!
Passo 4
Integração por partes se resume em identificar componentes na seguinte expressão
normalmente, usa-se a regra do LIPTE (Logaritmo, Inversas, Polinomiais, Trigonométricas, Exponenciais) como prioridade para definir quem é , desta forma temos que
que pode ser resolvida para obtermos
analogamente, temos que
e
de maneira que temos
ou simplesmente
Se não lembrar muito bem como calcular integrais por partes, temos várias destas resolvidas no site, belezinha? Checa lá para mais detalhes! Vamos calcular a coordenada agora!
Passo 5
Para integrar em precisamos visualizar outro infinitesimal, note que
Note que a linha horizontal verde separa a região em duas! Eu fiz isso pois a definição de altura muda em cada região! Temos as seguintes integrais
distribuindo, temos que
Novamente, precisamos resolver estas integrais por partes! MAS, agora as funções inversas têm prioridade na escolha ao invés do polinômio, de forma que as integrais se tornam
e, analogamente, temos que
se precisar dê uma olhada nas derivadas das funções inversas, beleza? Percebeu uma vantagem que temos nas expressões acima?
Passo 6
A vantagem é que temos a mesma integral em ambas com limites diferentes! Então, vamos resolver de uma vez só
podemos usar a substituição e para obter
como temos que , o integrando se torna
Essa integral é bem mais simples de ser resolvida! Usando que
obtemos
Os limites de integração variam para cada uma de nossas integrais! Saca só!
Passo 7
Para a integral
temos que e , obtendo que e , ou seja, a integral é simplesmente
analogamente para a segunda integral, iremos ter
de maneira que a nossa coordenada pode ser obtida como
ou simplesmente
simplificando
O centróide está então em
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!