UFBA, Sem Campus, Cálculo B, Listas de Cálculo B - UFBA - Lista 1, Questão 3.3c
Determine o centróide da região limitada por:
Passo 1
Eaew, tudo certinho?
Nós temos que determinar o centróide da região delimitada pelas curvas
esta é uma região arbitrária, que pode ser visualizada como
o centróide aqui será indicado com um ponto com duas coordenadas (estamos em uma região bidimensional), estas coordenadas são calculadas usando
e
Ou seja, nós temos duas integrais para resolver, isso será feito mudando o infinitesimal de área que escolhemos! Saca só!
Passo 2
Para integrarmos primeiro em , vamos escolher um retângulo infinitesimal de área com largura , sendo ele paralelo ao eixo x e de altura .
Note que este infinitesimal de área é dado como a área do retângulo de altura , ou seja, temos que
de forma que a integral de área é dada por
note que os limites de integração são dados pelo ponto em em que as curvas se interceptam! Usando a regra da potência para integrais, temos que
Eu calculei essa área primeiro, pois ela será utilizada em ambas as coordenadas, você pode calcular ela integrando com um infinitesimal em da mesma forma! Agora, vamos calcular as coordenadas!
Passo 3
Para calcular a coordenada temos que calcular a seguinte relação
Temos que inverter a função para termos y(x), para isso podemos completar quadrado e teremos:
Para a área é delimitada superiormente por e inferiormente por . Para a área é delimitada superiormente por e inferiormente por . O é apenas para diferenciar todos os que aparecem dentro da integral. Podemos igualmente escrever a expressão como
obtendo então a integral
resolvendo as integrais, utilizando a substituição simples , temos que
Maravilha! Temos a primeira coordenada, vamos fazer um processo parecido para a segunda coordenada agora!
Passo 4
Para integrar em precisamos visualizar outro infinitesimal, podemos escolher retângulos infinitesimais paralelos ao eixo x e integrar de . Vamos considerar a altura desses retângulos
resolvendo as integrais, temos que
A coordenada do centróide é então dada por
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!