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Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

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Enunciado

Determine a equação da reta r passando por ( 0,0 ) , tal que a área da região limitada por r e pela curva y = x 3 - x , com x > 0 , seja igual a 4 .

Passo 1

Começamos determinando essa reta aí! Modelando ela por y = a x + b , teremos o seguinte, já que essa reta passa no ponto 0,0 :

y = a x + b   →         0 = a 0 + b

b = 0

A reta vai ser, portanto:

y = a x

Passo 2

Achando a interseção, teremos:

x 3 - x = a x

x 3 - 1 + a x = 0

x x 2 - 1 + a = 0

As raízes desse cara serão:

x = 0       ;       x = 1 + a       ;       x = - 1 + a

Como o cara no enunciado limitou que ele quer x > 0 , a região que importa pra gente é entre x = 0 e x = 1 + a .

Passo 3

Vamos calcular a área dessa região então, com a integral nos limites que acabamos de definir no passo 2 e as funções sendo o x 3 - x e o a x :

A = ∫ 0 1 + a a x - x 3 - x d x

Vamos resolver essa equação em função de a :

A = ∫ 0 1 + a a + 1 x - x 3 d x = a + 1 x 2 2 - x 4 4 [ 1 + a 0

= a + 1 1 + a 2 2 - 1 + a 4 4 - a + 1 0 2 2 - 0 4 4

= a + 1 a + 1 2 - a + 1 2 4 = a + 1 2 4

Passo 4

Essa integral o enunciado disse que vale 4 , não é?

a + 1 2 4 = 4

Resolvendo isso, achamos o a , que já sabemos que é um valor positivo:

a + 1 2 = 4 2

a + 1 = 4 2 = 4

a = 3

Logo, a reta r é

y = 3 x

Resposta

y = 3 x

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