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Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

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Enunciado

UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - IM/UFRJ - Lista 5 - P3, Questão 13

Encontre uma função f ( x ) tal que

∫ f x d x = x e x 2 + c

Passo 1

Para encontrar uma função f ( x ) tal que ∫ f x d x = x e x 2 + c

, onde C   é a constante de integração, podemos fazer uso da regra da cadeia para determinar f ( x )

A expressão x e x 2 é a derivada da função e x 2 com relação a x . De acordo com a regra da cadeia, se y = e u x , então

d y d x = u ' x e u x

Neste caso, u x = x 2   e   u ' x = 2 x .

Isso nos sugere que a função f x deve ser proporcional à derivada de e x 2 , ou seja:

d x = 2 x e x 2

Passo 2

Agora, vamos verificar se a integral de f ( x ) resulta em x e x 2 + C

∫ f x d x = ∫ 2 x e x 2 d x

Vamos realizar uma substituição para simplificar a integral:

u = x 2 ,   d u = 2 x d x

A integral se torna:

∫ e u d u = e u + C

Substituindo de volta u = x 2

e x 2 + C

Comparando com x e x 2 + C vemos que a integral de f x = 2 x e x 2 é realmente x e x 2 Portanto, encontramos a função correta f ( x )

f x = 2 x 2 + 1 e x 2

Resposta

f x = 2 x 2 + 1 e x 2

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