UFU, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de C2 - Profª Ana Paula - Lista 7 - Integrais Duplas, Questão 10a
Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a.
a)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a integral dupla e esboçar a região que ela representa. Calcular a integral é tranquilo, a parte mais chatinha é o esboço do gráfico.
Mas calma, porque basta a gente perceber como as variáveis e estão variando, de acordo com a ordem de integração. Repare que para o raio , temos os seguintes limites:
E o ângulo tá variando dentro do intervalo:
Então, vamos usar isso para esboçar no gráfico no plano cartesiano e, em seguida, calcular nossa integral.
Vamos lá!
Passo 2
Já vimos que o raio está variando de até , então ele forma uma espécie de anel. Assim:
Mas a gente não quer todo o anel, a gente quer só a parte em que o ângulo varia de até . Então, nossa região vai ser essa em amarelo:
Passo 3
Agora que já esboçamos gráfico da nossa região, vamos calcular a nossa integral:
Integrando primeiro em relação a :
Aplicando os intervalos de integração em :
Agora integrando em relação a :
E aplicando os limites de integração em :
Valeu, galera! Até a próxima! 😉