UFES, Cálculo I, P3, 2020.2, questão 1.10
Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a ou a . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região
(10) ,
Passo 1
Faaala, galeeera! Tudo tranquilo por aí?
O objetivo principal dessa questão é calcular a área de uma região por meio da integração. Para isso precisamos esboçar as funções para entender a delimitação do local. Por fim, vamos desenhar o retângulo com sua altura e largura.
Primeiramente, devemos esboçar as funções. Temos duas funções quadráticas, uma com concavidade para baixo e outra com concavidade para cima. Veja a figura abaixo que representa a interseção entre elas.
Passo 2
Devemos obter a interseção entre as curvas. Primeiramente, para esboçar as curvas vamos encontrar as raízes dessas funções.
Para :
Logo, as raízes são
Para :
Logo, as raízes são
Note que as raízes de ambas são iguais, logo essas funções se cruzam nesses valores de . Esses são locais de interseção entre elas, tranquilo?
Passo 3
O próximo passo é calcular a área da região por meio da integração. Sabemos que a área é dada por:
Em que, a f(x) é a função que delimita a parte superior da área e g(x) é a função que limita a parte inferior da área. Como mostra a figura abaixo
Substituindo os dados para calcular a área, temos:
Calculando a integral
Até a próxima!
