UFES, Cálculo I, P3, 2020.2, questão 1.4
Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a ou a . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região
(4) , ,
Passo 1
Faaala, galeeera! Tudo tranquilo por aí?
O objetivo principal dessa questão é calcular a área de uma região por meio da integração. Para isso precisamos esboçar as funções para entender a delimitação do local. Por fim, vamos desenhar o retângulo com sua altura e largura.
Primeiramente, devemos esboçar as funções. Temos uma função quadrática de concavidade para baixo e uma função modular. Veja a figura abaixo que representa a interseção entre elas.
Passo 2
Podemos agora calcular a interseção entre as funções, ou seja, o ponto em que as funções se cruzam. Observe que as funções se cruzam em determinados pontos. Vamos calcular as interseções?
Encontrando :
Primeiramente, devemos igualar as funções
Considerando
Obtendo o delta da equação
Encontrando as raízes
Quando:
Considerando
Obtendo o delta da equação
Encontrando as raízes
Quando:
Logo, temos os pontos:
Então, já sabemos que os limites de integração serão e . Por que? Porque quando traçamos o gráfico com os pontos obtidos, esses valores de são aqueles em que as funções se encontram quando.
Passo 3
O próximo passo é calcular a área da região por meio da integração. Sabemos que a área é dada por:
Em que, a f(x) é a função que delimita a parte superior da área e g(x) é a função que limita a parte inferior da área. Como mostra a figura abaixo
Substituindo os dados, temos:
Calculando a integral
Note que: Dividimos em duas áreas iguais para calcular cada área e somar. Porém, como as áreas são exatamente iguais(simétricas), podemos calcular somente um lado do eixo e multiplicar o resultado por , ok?
Até a próxima!
