UFES, Cálculo I, P3, 2020.2, questão 1.9
Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a ou a . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região
(9) , , ,
Passo 1
Faaala, galeeera! Tudo tranquilo por aí?
O objetivo principal dessa questão é calcular a área de uma região por meio da integração. Para isso precisamos esboçar as funções para entender a delimitação do local. Por fim, vamos desenhar o retângulo com sua altura e largura.
Primeiramente, devemos esboçar as funções. Veja a figura abaixo que representa a interseção entre elas.
Para essa questão vamos calcular a área em dobro, ou seja, tanto abaixo de quanto acima. Isso facilitará nossos cálculos, pois no final basta dividir a área total por dois para encontrarmos somente a área entre . Veja a figura abaixo
Passo 2
Podemos agora calcular a interseção entre as funções, ou seja, o ponto em que as funções se cruzam. Observe que as funções se cruzam em determinados pontos. Vamos calcular as interseções?
Calculando a interseção entre e , temos
O outro ponto de interseção, onde é o oposto a . Como mostra a figura abaixo. Logo, é outro ponto de interseção.
Passo 3
O próximo passo é calcular a área da região por meio da integração. Sabemos que a área é dada por:
Em que, a f(x) é a função que delimita a parte superior da área e g(x) é a função que limita a parte inferior da área. Como mostra a figura abaixo
Substituindo os dados para calcular a área, temos:
Calculando a integral
Note que: Dobramos a área. Logo, devemos dividir o valor obtido por dois para obter a área que queremos, beleza?
Até a próxima!
