Lista P3 – 2020.2 – UFES – Cálculo I – Questão 1.14
Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a ou a . Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e sua largura. Então, calcule a área da região.
Passo 1
Olha a gente de novo aeee!! Beleza?? Seguinte, vamos devagarinho aqui... parte por parte sobre o que a questão pede.
Primeiramente vamos esboçar a curva e a curva em um mesmo gráfico:
Analisando ainda mais a figura, vemos que a região delimitada entre as curvas é essa aqui ó:
Tá... Mas e esse “retângulo aproximadamente típico” que a questão pede??
Ele não é nada mais e nada menos do que um retângulo em que a altura equivale a diferença entre as duas funções e a largura é a variação do no eixo , ou seja, . Para ficar mais fácil de entender, podemos ver:
Passo 2
Ok, mas e agora???
Agora vamos procurar os limites de integração!! Para isso, esses limites serão as interseções entre as curvas.
Não entendeu?? Caaalma!!
Para descobrir os pontos de interseção das curvas é basicamente igualar as duas funções e aí descobriremos os pontos em que elas se tocam!!! ;D
Mas antes, vamos só enxergar melhor a função :
Então, igualando as funções, temos:
Ou seja, há uma interseção em . Para
Passo 3
Assim, fazendo a integral de a , temos:
Agora vamos desenvolver beem devagarinho para a gente não conseguir ter medo de se perder no caminho haha!!
Assim, temos:
Da primeira integral, temos:
Agora, da segunda integral, temos:
Aplicando integral por partes, sabemos que:
Assim, nesse caso temos que:
Logo, substituindo temos:
Se liga que esses dois limites vão resultar em zero!! Isso facilita muito pra gente haha!
Assim, a nossa integral resulta em:
Dessa forma, nossa área é dada por:
Um pouquinho complicada, mas não impossível né??
Vamos para a próxima!!
