UFABC; Cálculo 1; Lista 9 – Funções de Uma Varável – Aplicações de Integração; Exercício 2d
2) Esboce a região delimitada pelas curvas e decida se a integração deve ser feita com relação a variável ou . Desenhe um retângulo típico com sua altura e largura. Finalmente ache a área da região.
d)
Passo 1
Olá, pessoal! Tudo bem com vocês? Estou muito animada para responder essa questão. Então vamos nessa?
Esse é um exercício clássico de cálculo de área, uma das aplicações mais importantes da integração de funções. E como o objetivo é o cálculo da área, vamos aplicar nossas curvas em um gráfico para que possamos entender qual a área que deve ser calculada.
Mas claro, antes de plotar a curva, precisamos isolar uma das duas variáveis! Como há somas simples entre e , podemos isolar qualquer uma das duas. E como somos mais habituados com na variável, utilizaremos ela, isolando .
Primeiro para :
Inserindo no gráfico:
Agora, vamos para :
Inserindo no gráfico:
Perfeito! Mas e agora, qual o próximo passo? Vamos trabalhar melhor nisso...
Passo 2
Agora que conhecemos nossas curvas, precisamos saber qual é o intervalo que a integração será realizada. Para isso, vamos igualar as funções e verificar em que pontos elas se cruzam:
Então:
E, também:
Portanto, o intervalo da nossa integração será entre os pontos e .
Ou seja, a área que queremos calcular é a área cinza, onde e é o intervalo da nossa integração:
Como tanto as curvas quanto o intervalo de integração estão em função de , nossa integral deve ser com a variável .
Matematicamente, o que precisamos fazer, é integrar a diferença entre e no intervalo de a :
Passo 3
A partir de agora, vamos calcular a integral definida!
Como há a subtração e soma dentro da integral:
E agora podemos integrar:
Passo 4
Como essa integral é definida, vamos aplicar o intervalo:
Simplificando:
Calculando:
Muito legal, né?
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?