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Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista 2 de Exercícios, Questão 14c

Esboce a região delimitada pelas curvas e determine sua área:

c)

y = x 2 ln ⁡ x ,   y = 4 ln ⁡ x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para esboçar a área delimitadas pelas três equações dadas e, com isso, calcular a área.

Para isso, primeiro vamos esboçar a figura:

Agora, analisando o gráfico, para calcular a área em azul devemos aplicar a seguinte integral:

∫ 1 2 - x 2 ln ⁡ x + 4 ln ⁡ x d x

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... dessa forma, resolvendo a integral, temos:

∫ 1 2 - x 2 ln ⁡ x + 4 ln ⁡ x d x = - ∫ 1 2 x 2 ln ⁡ x d x + ∫ 1 2 4 ln ⁡ x d x

Onde:

- ∫ 1 2 x 2 ln ⁡ x d x = 1 3 x 3 ln ⁡ x 2 1 + ∫ 1 2 x 3 3   d x  

E:

∫ 1 2 4 ln ⁡ x d x = 4 x ln ⁡ x - x 2 1

Passo 3

Nesse sentido, substituindo em ∫ 1 2 - x 2 ln ⁡ x + 4 ln ⁡ x d x , temos:

∫ 1 2 - x 2 ln ⁡ x + 4 ln ⁡ x d x = 1 3 x 3 ln ⁡ x 2 1 + ∫ 1 2 x 3 3 + 4 x ln ⁡ x - x 2 1 ∴

∫ 1 2 - x 2 ln ⁡ x + 4 ln ⁡ x d x = - 29 9 + 16 3 ln ⁡ 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

= - 29 9 + 16 3 ln ⁡ 2

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Calcule a integral, interpretando-a em termos das áreas. ∫ - 1 3 3 - 2 xd x