UFBA, Sem Campus, Cálculo B, Listas de Cálculo B - UFBA - Lista 1, Questão 1.1b
Esboce a região limitada pelas curvas indicadas e encontre sua área:
Passo 1
E aí galera, tudo tranquilo?
Nessa questão recebemos duas curvas:
E, precisamos primeiro esboçar a região entre essas curvas. E, depois, calcular a área dessa região.
Para isso, vamos começar relembrando o gráfico das curvas dadas, e depois encontramos os pontos de intersecção pra delimitar direitinho a região dada.
Pra calcular a área, podemos usar as queridas integrais, usando que:
onde é justamente as curvas que determinam essa área superiormente e inferiormente.
Tranquilo?! Então vamos nessa!
Passo 2
Bom, vamos começar pela reta:
Ou seja, uma reta que passa pelo ponto e coeficiente angular valendo . Daí:
Já para , temos:
Agora vamos juntar ambas as curvas em um mesmo gráfico:
Temos uma região delimitada entre os dois pontos de intersecção dessas curvas. Para calculá-los, vamos igualar as equações dessas curvas.
Para o ponto à esquerda do eixo , escrevemos:
Assim:
Já para o ponto à direita do eixo , temos:
Logo:
Muito bom!
Passo 3
Para calcular a área, vamos utilizar a integral que comentamos no passo .
De até , temos:
E, a curva da reta fica acima da reta .
Logo:
Daí, temos:
Agora vamos calcular a área da região no intervalo até .
Vamos fazer o processo semelhante:
Logo:
Muito bem! Daí agora é só somar essas duas áreas para termos a área total da região:
Portanto:
Prontinho pessoal! Obrigado pela atenção 😊