UFSC, Joinville, Cálculo II, Provas Profº Rómulo Castillo - P2 2014.2, Questão 2c
Questão 2. Dados os gráficos de , e as regiões , , , e , delimitadas seguem a figura anexa, formule, em cada caso, a integral que calcula o volume do sólido obtido ao girar a região indicada ao redor do eixo apontado.
c) ao redor de .
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema temos que obter o volume do solido de revolução cuja área que vamos revolucionar é dada pela soma de com e o eixo de revolução é em .
Como vamos resolver esse problema? 😐😐
Podemos usar o método dos discos, ou seja, usar a fórmula do volume de um disco para resolver o problema.
O volume do disco, é dado por , onde é o raio e a altura.
Se dividirmos o volume em discos de alturas infinitesimais, podemos chamar de e de .
Dessa forma, o volume do solido é dado por
Bora lá! 😁
Passo 2
Analisando a região e , temos que como a rotação acontece em , podemos adaptar a função para facilitar nossos cálculos.
A função que vai determinar é e , ou seja
No caso, podemos calcular a soma dos volumes gerados por e por .
Começando por , temos que varia de a , se transladarmos o eixo para .
Seguindo a mesma ideia, o volume gerado por tem raio que varia de a .
Portanto, a função volume é dada por
Por fim, temos que definir os limites de integração , e .
Pelo que vemos na imagem da região, a altura em da região varia de a 0, portanto, temos que integrar entre e .
Já em a variação em acontece entre e
Substituindo essas informações no volume, lembrando que , temos
Tranquilo até aqui? 😎
Passo 3
Resolvendo a integral, temos...
Integrando pelo método de integração polinomial...
Aplicando o limite de integração...
Juntando os resultados em
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
