UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Exercícios de Cálculo 3 - Profº Cilon Perusato - Lista 3, Questão 4c
Questão 4. Seja a superfície dada pela parte da esfera , calota esférica, que está acima do plano . Considere a função definida em uma região de que contém .
(c) Calcule a área da superfície .
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nesse problema queremos obter a área da superfície dada pela equação onde .
E aí, como fazemos isso? 😐
Para calcular uma área podemos usar o método da integral dupla
Porém, como nossa superfície é uma calota esférica, podemos aplicar uma conversão para coordenadas esféricas com o raio constante e igual a como vemos na equação.
Anteriormente, obtemos a função vetorial paramétrica de como com e .
Assim, ao invés de integrarmos em e , integramos em e de acordo com essas variações.
Lembrando que quando vamos converter uma integral cartesiana para uma integral com coordenadas esféricas, temos que multiplicar a função de integração pelo jacobiano
Entendeu o que temos que fazer? 😉
Passo 2
Aplicando a integral da área, temos
Como é constante e igual a ...
Integrando em
Como a função de integração é uma constante, sua integral será dada pela constante multiplicada pela variação nos limites de integração...
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
