UFSC, Joinville, Cálculo II, Provas Profº Rómulo Castillo - P2 2014.2, Questão 3c
Questão 3. Sejam as curvas e desenhadas em anexo. Formule, em cada caso, uma integral para calcular:
c) A área exterior à cardioide e interior ao círculo.
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nessa questão, queremos obter uma integral que resulte na área fora da curva e dentro da curva escritas em coordenadas polares.
Como podemos fazer isso? 🤔
Para calcularmos uma área através de uma integral, definimos nossa região de integração e aplicamos nos limites de integração da integral de , ou seja
Onde é a região de integração.
Bora ver como fica no nosso caso? 🤔
Passo 2
Foi pedido a área fora da circunferência de raio e dentro da cardioide , ou seja, a região hachurada em roxo.
Em coordenadas polares, calculamos uma área por uma integral dupla em que descreve a variação do raio da região em relação à origem e o ângulo que a região faz com a origem do sistema.
Nesse caso, queremos a área interna a e externa a , então podemos definir a área como a área interior a e como a área interior a limitada por .
Assim, podemos dizer que a área hachurada é igual a , ou seja, a área roxa menos a área cinza.
Já em , vemos que a região dá uma volta completa ao redor da origem do sistema, ou seja, .
Com essas informações, podemos montar a integral dupla em coordenadas polares, como
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
