Represente a área da região R por uma integral:

a ) R é a região no primeiro quadrante limitada pelo eixo x , pela reta y = 3 x e pelo círculo x 2 + y 2 = 4 .

Passo 1

Olá pessoal, como vocês estão?

Nessa questão recebemos a descrição de uma região R . É falado que R :

- Está no primeiro quadrante;

- é limitada pelo eixo x ;

- é limitada pela reta y = 3 x

- é limitada pelo círculo x 2 + y 2 = 4 .

A partir dessas informações devemos representar a área de R por meio de integrais.

Para fazer isso, podemos usar o recurso da integral. Se uma região é definida de tal forma que:

g y ≤ x ≤ f ( y )

Podemos escrever que a área dessa região é dada por:

A = ∫ a b f y - g y d y

onde a e b são determinados pela intersecção de f e g .

Massa!

Vamo nessa!

Passo 2

Bom, vamos começar fazendo um rápido esboço da região R .

Plotando todas as curvas que limitam R em um mesmo gráfico, temos:

Portanto, nossa região R é justamente o espaço entre essas 3 curvas.

Vamos calcular o ponto de intersecção da reta y = 3 x com o círculo em questão.

x 2 + y 2 = 4

x 2 + 3 x 2 = 4

4 x 2 = 4

Logo:

x = 1

⇒ y = 3 ⋅ 1

= 3

Muito bom!

Passo 3

Assim, de y = 0 até y = 3 , a nossa região R está entre a reta y = 3 x e o círculo .

Como estamos no primeiro quadrante, podemos ainda escrever a equação do círculo como:

x 2 + y 2 = 4

∴ x = 4 - y 2

Além disso, podemos escrever a reta y = 3 x como uma função de y :

x = 1 3 ⋅ y

Assim, usando que:

A = ∫ a b f y - g y d y

Como o círculo é a curva mais externa, temos:

f y = 4 - y 2

g y = y 3

Podemos escrever essa área da seguinte forma

A = ∫ 0 3 4 - y 2 - y 3 d y  

Prontinhoo! Essa é a área de R representada por meio de integrais 😊

Resposta

∫ 0 3 4 - y 2 - y 3 d y  

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