UnB – Cálculo 1 – Lista de Exercícios 12 – Questão 3
Se e são funções contínuas e em , então a área da região compreendida acima do gráfico de e abaixo do gráfico de é dada por . Nos itens abaixo, vamos calcular esta área para o caso em que e
- Determine as soluções da equação , chamando de o menor valor e o maior.
- Pelo Teorema do Valor Intermediário temos que, em todo intervalo , uma das funções é sempre maior ou igual a outra. Determine qual delas é a maior, calculando cada uma delas em um ponto e comparando os dois valores
- Determine agora a área integrando, no intervalo , a função que está por cima menos a que está por baixo
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!
O problema nos deu essas duas funções aqui
E não só o gráfico, nos deu as leis das funções:
E pediu para encontrarmos a área entre as curvas: abaixo da curva vermelha e acima da curva verde!
Para isso o problema nos pediu uma série de itens
- Encontrar onde as funções de cruzam e assim achar os limites de integração7
- No segundo item vamos escolher um ponto que esteja compreendido entre o intervalo de integração e substituir nas duas funções: assim vamos achar quem está por cima e por baixo
- E por fim vamos integrar!
e é isso! Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!
Vamos começar?
Passo 2
Letra (a): vamos começar igualando as duas funções!
Daí temos
Daqui temos duas soluções
Então as curvas se cruzam nesses dois pontos!
Assim esse é nosso intervalo (e nossos limites de integração)
Beleza?
Passo 3
Letra (b): Agora vamos analisar as duas funções em algum ponto que está dentro do intervalo , assim vamos saber quem está por cima e quem está por baixo!
As funções são
Um ponto no intervalo fechado pode ser o (mas vale para qualquer outro viu?), substituindo nas funções temos
Assim temos , ou seja, a reta está por cima da parábola, como vemos no gráfico
Tudo bem até aqui?
Passo 4
Agora que sabemos que a está por cima, #partiu integrar? As funções são
A área vai ser:
#partiu integrar
E é isso! Espero ter ajudado!