UFMG – Cálculo 1 – P5 – 2020.2
Seja A a área da região limitada pelas curvas e . O valor de 12A é quanto?
Passo 1
E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?
Nessa questão aqui a ideia principal é a gente desenhar nossas curvas no plano cartesiano, mas, antes vamos fazer uma manipulação aqui de leve:
Como temos uma equação quadrática e outra cúbica, sabemos que a quadrática vai ter concavidade pra cima (curva sorrindo) e que ela é a curva que vai estar por cima em relação a curva da equação cúbica. Isso é MUITOOOO IMPORTANTE e você vai saber o porquê mais pra frente.
Passo 2
Vamos de início ver onde esses dois gráficos vão se cruzar?
Aplicando báskara, observamos que esses gráficos vão se cruzar em dois pontos, que são essas raízes:
Passo 3
Agora que descobrimos os valores onde elas se cruzam, podemos aplicar a diferença das integrais das curvas pra calcular o valor de A. Como a gente tinha dito, sabemos que a curva quadrática está por cima porque ela é uma curva “sorrindo” e que tem a mudança de coeficiente angular quando .
Aplicando nossa integração, vamos ter:
Note que isso é:
Passo 4
Portanto,