UFRJ, Sem Campus, Cálculo 3, Provas Antigas, P2, 2022.2, 3
Seja a função definida no disco unitário e seja o gráfico da função . Ache a área de .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a área a área da superfície , que é definida pela função , então nós precisamos calcular:
Essa é uma integral de superfície, lembra? E essa integral é equivalente a integral sobre a região , dada pela fórmula:
Então, o que nós precisamos fazer? Nós precisamos parametrizar , chamando uma função , calcular a raiz equivalente a , com suas derivadas parciais, e substituir na integral para encontrar a área , que passa a ter a forma:
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a :
Calculando agora a derivada parcial de em relação a , temos:
Substituindo na equação de :
Elevando os termos ao quadrado, vamos obter:
Passo 3
Após a parametrização , temos a nossa integral de área:
Com o resultado do passo anterior, temos:
O enunciado nos deu a região , que representa uma circunferência de raio menor ou igual a . Então, pra facilitar nossa vida, podemos transformar a integral para coordenadas polares:
Substituindo na integral, vamos ter:
Usando a identidade trigonométrica :
Além disso, o ângulo da circunferência varia de a e o raio varia de a . Ou seja:
Então, nossa integral fica:
Passo 4
Agora vamos calcular nossa integral. Pra integrar em relação a , vamos chamar . Assim,
Substituindo na integral, temos:
Como é constante, a gente pode colocar do lado de fora da integral:
Sabendo que , nós podemos usar a regrinha da potência pra integrar ():
Antes de aplicar os limites de integração, precisamos voltar a nossa variável original . Lembra que nós definimos ? Então, vamos substituir de volta na integral:
Agora aplicando os limites de integração:
Passo 5
Já podemos integrar em relação a . Repare que a gente só tem constantes dentro da integral, então podemos escrevê-las do lado de fora:
Integrando:
Aplicando os limites de integração em :
Multiplicando os termos:
E encontramos nossa área.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉