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Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

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Enunciado

UNICAMP – Cálculo 1 – Professor Ricardo Martins – Lista de Integrais

11.8 Seja R a região limitada pelo eixo x e pelo gráfico de y = 1 - 4 x 2 , com x ∈ - 1 2 , 1 2 . Seja S o sólido obtido ao girarmos R em torno do eixo x . Encontre a área de R e o volume de S .

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos calcular a área R da região limitada pelo eixo x e pelo gráfico de y = 1 - 4 x 2 entre x = - 1 2 e x = 1 2 . Pra isso usamos integral:

R = ∫ a b f 2 x - f 1 x d x

E vamos calcular o volume dessa região quando giramos em torno do eixo x :

S = ∫ a b π f 2 x 2 - f 1 x 2 d x

Passo 2

Vamos fazer um esboço da região pra ver se a função fica acima ou abaixo do eixo x :

Então a função y = 1 - 4 x 2 está acima do eixo x no intervalo entre x = - 1 2 e x = 1 2

Passo 3

Calculando a área:

R = ∫ a b f 2 x - f 1 x d x

R = ∫ - 1 2 1 2 1 - 4 x 2 - 0 d x

R = ∫ - 1 2 1 2 1 - 4 x 2 d x

R = x - 4 x 3 3 - 1 2 1 2

R = 1 2 - 4 1 2 3 3 - - 1 2 - 4 - 1 2 3 3

R = 2 3

Passo 4

Calculando o volume:

S = ∫ a b π f 2 x 2 - f 1 x 2 d x

S = ∫ - 1 2 1 2 π 1 - 4 x 2 2 - 0 2 d x

S = ∫ - 1 2 1 2 π 1 - 8 x 2 + 16 x 4 d x

S = π x - 8 x 3 3 + 16 x 5 5 - 1 2 1 2

S = π 1 2 - 8 1 2 3 3 + 16 1 2 5 5 - - 1 2 - 8 - 1 2 3 3 + 16 - 1 2 5 5

S = 8 15

Resposta

R = 2 3

S = 8 15

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