Sejam as raízes da função .

Seja a função quadrática cujo gráfico passa pelo ponto e que possui raízes e .

Seja a região delimitada pelos gráficos de e .

a) Determine a expressão da função .

b) Determine o crescimento e o decrescimento de .

c) Faça abaixo um esboço da região . Indique explicitamente em seu desenho as coordenadas (abscissas e ordenadas) de todos os pontos de intersecção entre os gráficos de e .

d) Escreva a área de como uma soma de duas integrais na variável .

Então as raízes da função , ou seja, onde essa função cruza o eixo , são em e em .

Podemos escrever uma função quadrática de forma fatorada:

Onde e são nossas raízes e e vai definir se nossa parábola vai estar pra cima ou pra baixo. Então

Substituindo o ponto , para encontrarmos :

Então:

b) Para estudarmos crescimento e decrescimento de uma função, precisamos estudar o sinal da sua primeira derivada, certo?

Vamos encontrar as raízes de

Então os pontos e são os pontos críticos da nossa função, ou seja, onde ela irá mudar seu crescimento/decrescimento.

Vamos analisar quando ela cresce e quando decresce.

Temos os seguintes intervalos para analisar o sinal de :

Como tem a concavidade pra cima (pois ), temos:

Onde a parábola estiver acima do eixo, nossa é positiva, e onde estiver abaixo, é negativa, ou seja:

Logo:

Os intervalos de crescimento de são .

O intervalo de decrescimento de é .

c) Primeiro vamos encontrar os pontos de intersecção de e , igualando as duas funções:

Temos de cara a solução , e aí resolvendo

Então, as intersecções das funções são nos pontos

Abaixo temos o esboço dos gráficos das funções (em verde) e (em roxo) com a região e os pontos de intersecções marcados:

d) A área de é a área de entre e e entre e :

e) Vamos calcular a integral do item anterior:

Resolvendo as integrais:

Então, a área de é