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Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - Lista de Exercícios 2, Questão 5

Use o Cálculo para encontrar a área do triângulo cujos vértices são 0,0 ,   3,1 e 1,2 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom...a questão nos dá três pontos que são os vértices de um triângulo.

Para ficar melhor o que iremos fazer, vamos plotar o triângulo:

Queremos encontrar a área desse triângulo!!

Uma forma de calcularmos é encontrar a equação de cada reta e aplicar na integral considerando as posições e os pontos de encontro entre as retas.

Lembrando que uma reta é dada pela equação y = a x + b .

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... fazendo a equação da reta A C :

0 = a * 0 + b ∴ b = 0

2 = a * 1 + b ∴ a = 2

Logo, temos que y = 2 x .

Para a reta C B :

1 = a * 3 + b ∴ b = 2,5

2 = a * 1 + b ∴ a = - 0,5

Logo, temos que y = - 0,5 x + 2,5 .

E, para a reta B A :

1 = a * 3 + b ∴ a = 1 / 3

0 = a * 0 + b ∴ b = 0

Logo, temos que y = x 3 .

Passo 3

Dessa forma, considerando as posições e os pontos de encontro entre as retas, a área do triângulo será:

A = ∫ 0 1 2 x   d x + ∫ 1 3 - 0,5 x + 2,5   d x - ∫ 0 3 x 3   d x ∴

A = x 2 1 0 + - 0,5 x 2 2 + 2,5 x 3 1 - x 2 6 3 0 ∴

A = 2,5

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A = 2,5

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