- Determine os possíveis valores de , e que tornam continuas as funções abaixo e esboce seus gráficos.
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Para resolver essa questão temos que lembrar de uma coisinha: para a função ser continua, os seus limites laterais tem que ser iguais entre si e a função no ponto, ou seja,
Onde , neste caso, são justamente pontos onde a função muda de comportamento.
Agora repara que os pontos e são, justamente, os pontos em que a função muda de comportamente.
Em outras palavras, vamos ter que avaliar esses limites laterais para encontrar quem é e .
Passo 2
Começando por .
Temos que para valores menores que , a função tem esse comportamento . Então vamos fazer,
Repara que caímos em uma indeterminação do tipo . Mas a gente consegue resolver usando o Limite Fundamental Trigonométrico. Vamos reescrever a nossa função assim
Temos uma pequena diferença do nosso denominador para o que está dentro do seno, então vamos multiplicar por em cima e em baixo:
Mas ainda não podemos usar o nosso limite fundamental, pois e não a zero. Então vamos fazer uma mudança de variável
Logo,
Aplicando o nosso limite fundamental trigonométrico, temos que
Passo 3
Agora vamos olhar para valores maiores que , onde a função terá esse comportamento. Logo,
Para função ser continua, temos que
Podemos dizer que,
Opaaa, temos uma equação e duas icognitas! Então vamos avaliar a próxima condição para montar esse sistema.
Passo 4
Fazendo agora .
Temos que para valores menores que , a função tem esse comportamento . Então vamos fazer,
Agora vamos olhar para valores maiores que , onde a função terá esse comportamento . Logo,
E para função ser continua temos que
Podemos dizer que,
Descobrimos quem é , mas vimos no passo anterior que
Logo,
Prontinho!
Resposta
No texto.