UFSC, Joinvile, Cálculo II, Provas Profº Rómulo Castillo - P2 2015.1, Questão 4
Calcular onde R é a região delimitada pela circunferência .
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão pede para a gente calcular a uma integral dupla sobre uma região R do plano xy: um círculo de raio 2 centrado no ponto (2,2). Primeiramente, faremos uma transformação
Fazendo essa transformação, podemos escrever a função do integrando como , e a região de integração pode ser escrita como a região delimitada por . O determinante Jacobiano dessa transformação é igual à 1, pois e . Após a transformação, temos que a nossa integral é da forma
Agora, a gente percebe que a nossa integral nesse formato é mais simples de ser resolvida se utilizarmos coordenadas polares. Então, por conveniência vamos fazer uma transformação de coordenadas polares, já que temos uma região circular. Bora lá!
Passo 2
Fazendo a seguinte transformação de coordenadas cartesianas (x’,y’) para polares (r,):
Obtemos que o determinante Jacobiano dessa transformação de coordenadas polares é igual à r. Então, podemos escrever o elemento de área da integração dA = dx’dy’ como dA = r drd. Assim, podemos escrever a região R de integração e seus limites como sendo a região, nesse sistema de coordenadas, delimitada por
Então, a nossa integral pode ser escrita como
Utilizando a identidade trigonométrica , reescrevemos a integral como