USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 9a
Calcule as integrais:
a) , onde é o disco de centro na origem e raio .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a integral dupla sobre a região , que é um disco centrado em e de raio . Seria mais ou menos isso aqui:
Sempre que a função apresentar algum tipo de simetria rotacional, como é o caso desse círculo, é interessantes usar as coordenadas polares, porque elas vão facilitar nossos cálculos na hora de integrar. Pra isso, a gente conta com as relações:
Esse é o nosso Jacobiano e é muito importante não esquecer dele na hora da integral, sempre que fazemos alguma transformação de coordenadas. Além disso, é o raio da circunferência e é o nosso ângulo. Com base nessas equações conseguimos obter nossos intervalos de integração e calcular a integral pedida.
Vamos lá!
Passo 2
Como a gente viu que nosso raio é , a gente já sabe que ele vai variar no intervalo:
A nossa circunferência dá uma volta completa, então o ângulo dela varia de até , ou seja:
Assim, usando , conseguimos escrever nossa integral na forma:
Então, integrando primeiro em relação a , temos:
Aplicando os limites de integração em :
Passo 3
Agora integrando em relação a , vamos ter:
Aplicando os intervalos de integração em :
Como , temos:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉