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Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

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Enunciado

UFPE – Cálculo 2 – Listas Prof. Ricardo F. da Silva – Undecima lista – Questão 2b

Calcule as integrais a seguir

b ) ∬ R x + y d A ,   o n d e   R   é   o   p a r a l e l o g r a m o   d e   v é r t i c e s   0,0 ,   1,1 , 3,1 ,   ( 2,0 )

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa questão! Vamos lá?

O problema nos deu essa integral dupla

∬ R x + y d A

E a região:

É entre as retas

y = x

y = x - 2

E pediu para calcular isso! Mas qual é o pulo do gato?

A ordem de integração! Olhando as retas vemos que y = x - 2 está mais à direita, enquanto y = x mais à esquerda. Entre as ordenadas y = 0 até y = 1 . Então nossa ordem será d x   d y

Beleza? Agora é só montar a integral e #partiu resolver!

Mas relaxa, vou fazer junto com você!

Passo 2

Agora vamos montar a integral! Nossa integral é

∬ R x + y d A

Os limites de integração

y ≤ x ≤ y + 2

0 ≤ y ≤ 1

E o diferencial de área

d A = d x   d y

Agora vamos juntar

∫ 0 1 ∫ y y + 2 ( y + x )   d x d y

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora é #partiu resolver, primeiro em x :

∫ 0 1 ∫ y y + 2 ( y + x )   d x d y

= ∫ 0 1 y x + x 2 2 y y + 2   d y   = ∫ 0 1 y 2 + 2 y + y + 2 2 2 - y 2 - y 2 2   d y = ∫ 0 1 2 y - y 2 2 + y + 2 2 2 d y

Beleza? Agora vamos integrar em y :

= y 2 - y 3 6 + y + 2 3 6 0 1

E aplicar os limites de integração

= 1 - 1 6 + 3 3 6 - 2 3 6 = 6 - 1 + 27 - 8 6

E por fim simplificar

24 6 = 4

Pronto! Essa é nossa resposta!

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

4

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Calcule as integrais iteradas. ∫ 0 1 ∫ 0 x 2 ( x + 2 y ) d y d x