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Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

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Enunciado

UFPE – Cálculo 2 – Listas Prof. Ricardo F. da Silva – Undecima lista – Questão 2d

Calcule as integrais a seguir

d ) ∬ R e x + y d A ,   o n d e   R = { x , y ∈ R 2 ; x + y ≤ 1 }  

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa questão! Vamos lá?

O problema nos deu essa integral dupla

∬ R e x + y d A

E a região:

x + y ≤ 1

E pediu para calcular isso! Mas qual é o pulo do gato?

É descobrir que região estamos integrando e os limites de integração! Vamos esboçar nossa região

Vemos que temos quatro regiões, com quatro quadrantes diferentes

Região I:

0 ≤ y ≤ 1 - x

0 ≤ x ≤ 1

Região II:

0 ≤ y ≤ x + 1

- 1 ≤ x ≤ 0

Região III:

- x - 1 ≤ y ≤ 0

- 1 ≤ x ≤ 0

E região IV:

x - 1 ≤ y ≤ 0

0 ≤ x ≤ 1

Beleza? Agora é só montar a integral e #partiu resolver!

Mas relaxa, vou fazer junto com você!

Passo 2

Agora vamos montar as integrais

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x e x + y d y   d x + ∫ - 1 0 ∫ 0 x + 1 e x + y d y   d x + ∫ - 1 0 ∫ - x - 1 0 e x + y d y   d x + ∫ 0 1 ∫ x - 1 0 e x + y d y   d x

Tudo bem até aqui? Agora vamos integrar em y

∫ 0 1 e x + y 0 1 - x d x + ∫ - 1 0 e x + y 0 x + 1 d x + ∫ 0 - 1 e x + y - x - 1 0 d x + ∫ 0 1 e x + y x - 1 0 d x

E aplicar os limites de integração

∫ 0 1 e - e x d x + ∫ - 1 0 e 2 x + 1 - e x d x + ∫ - 1 0 e x - e - 1 d x + ∫ 0 1 e x - e 2 x - 1 d x

Tranquilo?

Passo 3

Agora é #partiu resolver em x :

∫ 0 1 e - e x d x + ∫ - 1 0 e 2 x + 1 - e x d x + ∫ - 1 0 e x - e - 1 d x + ∫ 0 1 e x - e 2 x - 1 d x

= e . x - e x 0 1 + 1 2 e 2 x + 1 - e x - 1 0 + e x - x e - 1 0 + e x - 1 2 e 2 x - 1 0 1

e agora vamos substituir os limites de integração

e - e - 0 - 1 + 1 2 e - 1 - 1 2 e - 1 e + 1 - 0 - 1 e + 1 e + e - 1 2 e - 1 + 1 2 e

E simplificar

= e - 1 e

Pronto! Essa é nossa resposta!

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

e - 1 e

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Determine o volume do sólido dado.Limitado pelos planos x = 0 , y = 0 , z = 0 e x + y + z = 1
Determine o volume do sólido dado.Abaixo do paraboloide z = 3 x 2 + y 2 e acima da região delimitada por y = x e x = y 2 - y .
Calcule as integrais iteradas.int_0^1 int_(x^2)^x ( 1 + 2 y ) d y d x
Calcule a integral dupla. ∬ Dy 2 e x y d A, D = x ,y0 ≤ y ≤ 4,0 ≤ x ≤ y }
Calcule as integrais iteradas. ∫ 0 1 ∫ 0 x 2 ( x + 2 y ) d y d x