UTFPR, Londrina, Cálculo 2, Lista Máximos e Mínimos - UTFPR - 2022.2, Questão 1
Calcule a integral da função sobre a região .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma função de duas variáveis e pediu pra gente integrar ela na região . Como ficaria essa integral?
Bom, a gente já sabe que tá variando de a e que tá variando de a . A gente também tem o integrando, que é . Então, nossa integral seria dupla e ficaria assim:
E o que nós vamos fazer é integrar uma de cada vez, aplicando os limites de integração. Vamos lá!
Passo 2
Galera, vamos começar calculando a integral em relação a :
Repare que o só aparece ali no expoente da função, então a outra parte a gente trata como constante e integra só o que tem . Pra ficar mais fácil, vamos chamar o expoente de :
E derivar somente em relação a :
Substituindo na segunda parte da integral, fica assim:
Integrando e voltando à variável , temos:
Mas a gente não pode esquecer do primeiro termo da nossa integral original, que é . Integrando tudo junto, temos:
Aplicando os limites de integração em :
Passo 3
Agora vamos integrar em relação a :
Lembra da regrinha pra integrar a exponencial? Onde . A gente vai usar ela aqui:
Beleza, agora vamos aplicar os limites de integração em :
Simplificando, temos:
E encontramos nossa resposta. Valeu, galera! 😉