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Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 29a

Calcule a massa da região R limitada por:

  1. z x 2 + y 2 = 2 , z = 0 ,   x 2 + y 2 = 1 ,   x 2 + y 2 = 2 , com x ≥ 0 e y ≤ 0 e δ x , y , z = 1

Passo 1

Olá meu caro colega, estamos aqui para calcularmos a massa delimitada por essa região. A nossa região é dada por R = x , y , z ∈ R 3     0 ≤ z ≤ 2 x 2 + y 2   ; 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2   ,   x ≥ 0 ,   y ≤ 0 }

δ x , y , z = 1

A nossa parametrização

x r , θ , z : x = r cos ⁡ θ y r , θ , z : y = r sin ⁡ θ z r , θ , z : z = z

E o nosso querido jacobiano é

J = r

Passo 2

Agora que temos nossa nova parametrização, vamos dar uma olhada em como ficou os nossos novos intervalos.

x ≥ 0 → r cos ⁡ θ ≥ 0

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

y ≤ 0 → r sin ⁡ θ ≤ 0

- π ≤ θ ≤ 0

Portanto temos que o intervalo de θ é

- π 2 ≤ θ ≤ 0

1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2

1 ≤ r 2 ≤ 2

1 ≤ r 2 ≤ 2

0 ≤ z ≤ 2 r 2

Passo 3

Agora finalmente iremos começar a calcular a massa, que é dada pela seguinte formula

m = ∫ ∫ ∫ R δ x , y , z d x d y d z = ∫ ∫ ∫ 1 r d r d θ d z

= ∫ - π 2 0 ∫ 1 2 ∫ 0 2 r 2 r ∙ d z d r d θ

= ∫ - π 2 0 ∫ 1 2 r ∙ 2 r 2 d r d θ

= ∫ - π 2 0 2 ( ln ⁡ 2 - ln ⁡ | 1 | ) d θ

= 0 - - π 2 2 ln ⁡ 2 = π 2 ln ⁡ 2

Resposta

π 2 ln ⁡ 2

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