Calcule a massa da região R limitada por:

c) x 2 + y 2 = 1 + z 2 , x 2 + y 2 = 4 com δ x , y , z = z

Passo 1

Olá meu nobre colega, hoje iremos botar a mão na massa para calcular a massa da região R abaixo,

A piadoca foi péssima, mas prometo que a resolução da questão será melhor. Primeira coisa que iremos fazer é parametrizar tudo, pois assim teremos nossa vida facilitada,

x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ z = z

O nosso querido jacobiano é

J = r

Então agora nos resta encontrar os limites de integração para a parametrização usada,

x 2 + y 2 ≤ 4   ↔ r 2 ≤ 4

0 ≤ r ≤ 2

x 2 + y 2 ≤ 1 + z 2

- x 2 + y 2 - 1 ≤ z ≤ x 2 + y 2 - 1

- r 2 - 1 ≤ z ≤ r 2 - 1

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Passando agora para a parte de montar nossa integral tripla e resolve-la

m = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ - r 2 - 1 r 2 - 1 z r d z d r d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ( ∫ 0 r 2 - 1 z d z + ∫ - r 2 - 1 0 - z d z ) r d r d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 2 - 1 2 2 r - 0 - - r 2 - 1 2 2 r d r d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 2 - 1 r d r d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 - r 2 - 1 r d r + ∫ 1 2 r 2 - 1 r d r d θ

= ∫ 0 2 π ( ∫ 1 2 r 3 - r d r - ∫ 0 1 r 3 - r d r )   d θ

= ∫ 0 2 π [ 1 4 ( 2 4 - 1 4 ) - 1 2 2 2 - 1 2 - ( 1 4 - 1 2 ) ] d θ

= ∫ 0 2 π 9 4 d θ

= 9 π 2

Resposta

= 9 π 2

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Calcule as integrais iteradas. ∫ 0 1 ∫ 0 x 2 ( x + 2 y ) d y d x