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Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

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Enunciado

UFPE – Cálculo 2 – Listas Prof. Ricardo F. da Silva – Décima lista – Questão 1e

Calcule as seguintes integrais iteradas

e ) ∫ 1 2 ∫ 0 4 d y   d x x + y  

Passo 1

Oi, tudo bem?

Vamos calcular essa integral iterada aqui

∫ 1 2 ∫ 0 4 d y   d x x + y  

A ordem de integração dada é

d y   d x

Então primeiro precisamos integrar a integral “mais de dentro”, ou seja, nesse caso d y ! Quando integramos em y , consideramos x constante, e vice-versa!

Então aqui atenção: vamos começar integrando em y , então aquele x fica quietinho! Beleza?

Bora começar?

Passo 2

Agora vamos começar integrando em y

∫ 1 2 ∫ 0 4 d y   d x x + y   = ∫ 1 2 ∫ 0 4 1 x + y d y   d x = ∫ 1 2 ln ⁡ ( x + y ) y = 0 4   d x

Agora vamos aplicar nos limites de integração:

= ∫ 1 2 ln ⁡ ( x + 4 ) - ln ⁡ x   d x

Tudo bem até aqui? Para ter certeza de que está tudo bem, no momento em que você aplicou os limites em y não pode sobrar nenhuma variável y no integrando, viu? A partir de agora, nossa integral passa a ser só em x !

Passo 3

Integrando em x temos

∫ 1 2 ln ⁡ ( x + 4 ) - ln ⁡ x   d x = ∫ 1 2 ln ⁡ ( x + 4 ) d x - ∫ 1 2 ln ⁡ x   d x

Essas duas integrais a gente vai aplicar a integração por partes: escolhemos u a partir do LIATE (logaritmo, inversa trigonométrica, aritmética, trigonométrica, exponencial, nessa ordem!)

Beleza?

Vamos escolher

u = ln ⁡ x ,   d u = 1 x d x

d v = d x ,   v = x

A mesma coisa para ln ⁡ x + 4 ! Beleza, bora aplicar?

A integração por partes é

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Aplicando temos:

= x + 4 ln ⁡ x + 4 1 2 - ∫ 1 2 x + 4 1 ( x + 4 ) d x   - x ln ⁡ x 1 2 - ∫ 1 2 x 1 x d x

Agora vamos aplicar os limites de integração e simplificar o que puder

6 ln ⁡ 6 - 5 ln ⁡ 5 - ∫ 1 2 d x - 2 ln ⁡ 2 + ∫ 1 2 d x

Se você olhar com carinho, as integrais que sobraram são iguais com sinal opostos, então elas se anulam! Aí nosso resultado fica

6 ln ⁡ 6 - 5 ln ⁡ 5 - 2 ln ⁡ 2 = ln ⁡ 6 6 5 5 . 2 2

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

ln ⁡ 6 6 5 5 . 2 2

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