Esboce a região de integração e calcule a integral trocando a ordem de integração.

a) ∫ 0 1 ∫ 0 1 e x 2 d x d y

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente trocar a ordem de integração, esboçar a região e calcular a integral. Essa região de integração é definida pelos intervalos da integral dupla que ele nos deu. Nesse caso, temos a região:

R = x ,   y ∈ R 2 |   0 ≤ y ≤ 1 ,   0 ≤ x ≤ 1

Repare que tanto x quanto y vai de 0 a 1 , nesse caso. Esboçando a região, temos:

A reta laranja representa x = 0 , a reta em roxa representa x = 1 e as retas em cinza e em verde representam y = 0 e y = 1 , respectivamente. Agora vamos trocar a ordem a integração e calcular a integral.

Vamos lá!

Passo 2

Como os intervalos são iguais, na prática o que vai mudar é somente a ordem de integração mesmo, os intervalos vão permanecer os mesmos. Assim, vamos ter:

∫ 0 1 ∫ 0 1 e x 2 d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 e x 2 d y d x

Então, integrando primeiro em relação a y , consideramos x constante e temos:

∫ 0 1 ∫ 0 1 e x 2 d y d x = ∫ 0 1 y e x 2 0 1 d x

Aplicando os intervalos de integração:

∫ 0 1 ( 1 ∙ e x 2 - 0 ∙ e x 2 )   d x

∫ 0 1 e x 2   d x

E caímos novamente na integral anterior. Essa integral não possui solução pelos métodos convencionais, sua solução pode envolver a expansão em série de potência ou a utilização de métodos numérios e sua solução é conhecida como função de erro imaginário.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

N ã o   p o s s u i   s o l u ç ã o

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