UFPE, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - Profº Ricardo F. da Silva - Undécima Lista, Questão 3b
Esboce a região de integração e calcule a integral trocando a ordem de integração.
b)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente trocar a ordem de integração, esboçar a região e calcular a integral. Essa região de integração é definida pelos intervalos da integral dupla que ele nos deu. Nesse caso, temos a região:
Esboçando a região, temos:
Em vermelho, temos a curva , que também pode ser escrita como . A reta em verde representa e, em laranja e azul, temos as retas e , respectivamente.
Se a gente inverter essa ordem de integração, vamos olhar primeiro para , e ver que ele vai ta variando de até a reta . Depois olhando para , vemos que ele vai de até a curva , ou seja:
Dessa forma, vamos resolver a integral:
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar integrando em relação a :
Aplicando os limites de integração em :
Agora vamos integrar em relação a . Mas antes vamos precisar fazer uma substituição pra facilitar nossa vida. Vamos chamar , dessa forma:
Além disso, quando , temos e quando , temos . Assim:
Ainda não ajudou muito né? Então, vamos fazer outra substituição, chamando . Assim, temos:
Além disso, quando , temos e quando , temos . Substituindo na integral vai ficar:
Integrando agora em relação a :
Aplicando os limites de integração:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉