Nos exercícios 01 a 08, calcule D_f(x, y) d_x d_y , onde D é a região descrita em cada caso

05. f(x, y) = xy , D o triângulo com vértices nos pontos 0,0 , (1, -1) e (1,1) .

Passo 1

Como vai meu consagrado? 😁 Bora aprender como resolver essa questão? 😉

Nesse problema, queremos obter a integral da função f x , y = x y aplicada na região D , onde D é a região definida pelo triângulo com vértices nos pontos 0,0 , 1 , - 1 e 1,1 .

E aí, tem ideia do que fazer? 🤔

O segredo é conseguir definir a região D como os limites de integração de f x , y

∬ D f x , y d x d y

Se conseguirmos fazer isso, a primeira integral deve ser definida entre duas funções e a última integral deve ser definida entre duas constantes.

Bora começar! 😁

Passo 2

Vamos começar esboçando a região D .

Plotando os pontos e traçando o triangulo, temos

E nosso desafio agora é conseguir descrever a região D dentro dos limites de integração de f .

Podemos imaginar que os seguimentos A B - e A C - são retas que definem nossa região em y .

O seguimento A B - se alongado, vemos que poderá cortar os quadrantes ímpares ao meio e a reta que é capaz de fazer isso é a reta y = x .

Já se alongarmos o seguimento A C - podemos ver que a reta formada cortaria os quadrantes pares ao meio e a reta que faz isso é a reta y = - x .

Logo temos que - x ≤ y ≤ x

E pela figura, vemos que x varia de 0 a 1 .

Sacou? 😁

Passo 3

Montando a integral com os limites de integração que definimos para x e y , temos

∬ D f x , y d x d y → ∫ 0 1 ∫ - x x x y d y d x

Integrando em y , temos

∫ x y d y = x y 2 2

Aplicando os limites de integração de y ...

∫ - x x x y d y = x x 2 2 - x - x 2 2 = 0

Como o resultado da primeira integral é 0 , certamente a segunda integral também é 0 , logo

∫ 0 1 ∫ - x x x y d y d x = 0

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ 0 1 ∫ - x x x y d y d x = 0

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