UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Profº Edson Figueiredo - 1ª Lista, Questão 6
Nos exercícios 01 a 08, calcule , onde é a região descrita em cada caso
06. , a região retangular definida pelas desigualdades ,
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nesse problema, queremos obter a integral da função aplicada na região , onde é a região retangular definida pelas desigualdades e .
E aí, tem ideia do que fazer? 🤔
O segredo é conseguir definir a região como os limites de integração de
Se conseguirmos fazer isso, a primeira integral deve ser definida entre duas funções e a última integral deve ser definida entre duas constantes.
Bora começar! 😁
Passo 2
Vamos começar esboçando a região .
Como e variam entre duas constantes e , a região é dada por um retângulo.
Montando a integral de para as constantes que foram dadas no problema...
Como é uma função modular e deve ser integrada no primeiro e no quarto quadrante, temos que separar essa integral em duas, uma quando e forem positivos e outra quando for negativo, ou seja
Entendeu essa parte? 😉
Passo 3
Calculando a primeira integral, temos
Primeiro integrando com relação a
Agora integrando o resultado com relação a
Portanto, encontramos que
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 4
Agora vamos calcular a integral do quarto quadrante...
Integrando em
Integrando o resultado com relação a
Substituindo os dois resultados na integral de
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
