Nos exercícios 01 a 08, calcule D_{f}(x, y) dx dy , onde D é a região descrita em cada caso

07. f(x, y) = e^(x/y) , D limitada pela parábola y^2 = x e pelas retas x = 0 e y = 1 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, queremos obter a integral da função f x , y = e x y aplicada na região D , onde D é a região limitada pela parábola y 2 = x e pelas retas x = 0 e y = 1 .

E aí, tem ideia do que fazer? 🤔

O segredo é conseguir definir a região D como os limites de integração de f x , y

∬ D f x , y d x d y

Se conseguirmos fazer isso, a primeira integral deve ser definida entre duas funções e a última integral deve ser definida entre duas constantes.

Bora começar! 😁

Passo 2

Vamos começar esboçando a região D .

Plotando a parábola y 2 = x e as retas x = 0 e y = 1 , temos

Podemos ver que a região D é limitada na direção horizontal entre x = 0 e x = y 2 e verticalmente entre y = 0 e y = 1

Assim a integral será dada por

∬ D f x , y d x d y → ∫ 0 1 ∫ 0 y 2 e x y d x d y

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Integrando com relação a x , temos

∫ e x y d x = y e x y

∫ 0 y 2 e x y d x = y e y 2 y - y e 0 y = y e y - y

Integrando o resultado em função de y pelo método de substituição por partes...

∫ y e y - y d y = y e y - e y - y 2 2

∫ 0 1 y e y - y d y = 1 e 1 - e 1 - 1 2 2 - 0 e 0 - e 0 - 0 2 2

∫ 0 1 y e y - y d y = - 1 2 - - 1 = 1 - 1 2

Assim, temos

∫ 0 1 ∫ 0 y 2 e x y d x d y = 1 2

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 y 2 e x y d x d y = 1 2

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