Nos exercícios 01 a 08, calcule D_f(x, y) d_x d_y , onde D é a região descrita em cada caso

08. f(x, y) = raiz(y) · raiz(x^2) , D a região definida por y ∈ [0, 1] , x ∈ [-1,0] .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, queremos obter a integral da função f x , y = y 3 · x 2 aplicada na região D , onde D é a região limitada por y = 0 e y = 1 e também por x = - 1 e x = 0 .

E aí, tem ideia do que fazer? 🤔

O segredo é conseguir definir a região D como os limites de integração de f x , y

∬ D f x , y d x d y

Se conseguirmos fazer isso, a primeira integral deve ser definida entre duas funções e a última integral deve ser definida entre duas constantes.

Bora começar! 😁

Passo 2

Vamos começar esboçando a região D .

Como x e y estão definidos entre duas constantes, a região D será um retângulo

Montando nossa integral, temos

∬ D f x , y d x d y → ∫ 0 1 ∫ - 1 0 y 3 · x 2 d x d y = ∫ 0 1 ∫ - 1 0 y 3 · x d x d y

Perceba que x está em módulo, mas temos que integrá-lo em valores negativos, então para tirar x do modulo, temos que fazer - x

∫ 0 1 ∫ - 1 0 y 3 · - x d x d y

Passo 3

Vamos começar integrando com relação a x

∫ y 3 · - x d x = y 3 · - x 2 2

∫ - 1 0 y 3 · - x d x = y 3 · - 0 2 2 - y 3 · - - 1 2 2  

∫ - 1 0 y 3 · - x d x = y 3 2

Integrando o resultado em função de y , temos

∫ y 3 2 d y = ∫ y 1 3 2 d y = y 1 3 + 1 2 1 3 + 1

∫ y 3 2 d y = 3 y 4 3 8

∫ 0 1 y 3 2 d y = 3 1 4 3 8 - 3 0 4 3 8 = 3 8

Portanto, temos

∫ 0 1 ∫ - 1 0 y 3 · x 2 d x d y = 3 8

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ 0 1 ∫ - 1 0 y 3 · x 2 d x d y = 3 8

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