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Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 5g

∫ ∫ D ( x 2 t g   x   +   y 3   +   4 ) d x d y , onde D é x 2 + y 2 ≤ 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo. Dessa vez para calcularmos uma integral

Nosso objetivo é calcular ∫ ∫ D ( x 2 t g   x   +   y 3   +   4 ) d x d y , onde D é x 2 + y 2 ≤ 2

Passo 2

Vamos montar nossa integral. Começando pela região. D é x 2 + y 2 ≤ 2

então - 2 ≤ y ≤ 2 e - ( 2 - y 2 ) 1 / 2 ≤ x ≤ ( 2 - y 2 ) 1 / 2

Vamos montar nossa integral

V = ∫ - 2 2 ∫ - ( 2 - y 2 ) 1 / 2 ( 2 - y 2 ) 1 / 2 x 2 t g   x   +   y 3   +   4   d x   d y

Note que x 2 t g   x é uma função ímpar, logo sua integral em um intervalo simétrico ao redor do zero é zero. Dessa forma,

V = ∫ - 2 2 ∫ - ( 2 - y 2 ) 1 / 2 ( 2 - y 2 ) 1 / 2 x 2 t g   x   +   y 3   +   4 d x   d y = ∫ - 2 2 2 y 3 ( 2 - y 2 ) 1 / 2 + 8 ( 2 - y 2 ) 1 / 2 d y

note que 2 y 3 ( 2 - y 2 ) 1 / 2 é uma função ímpar. Então

= ∫ - 2 2 8 ( 2 - y 2 ) 1 / 2 d y

Como essa integral é manjada, temos que

= 8 ( 1 / 2   y   ( 2   -   y 2 )   +   s i n - 1 ( y / 2 ) )   | y = 2 y = - 2

8 ( π / 2 + π / 2 )

= 8 π

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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