∫ ∫ D 4 y 3   d x d y , onde D é a região limitada por y   =   x - 6 ,   y 2 =   x ,

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo. Dessa vez para calcularmos uma integral

Nosso objetivo é calcular ∫ ∫ D 4 y 3   d x d y , onde D é a região limitada por y   =   x - 6 ,   x 2 =   y ,

Passo 2

Vamos montar nossa integral. Começando pela região. Para melhor entendermos o que está acontecendo. Vamos desenhar a região y   =   x - 6 ,   y 2 =   x ,

Para esse caso, seria mais fácil integrarmos primeiro em x e depois em y . Sendo assim, como

y   =   x - 6

⇒ x = y + 6

portanto

y 2 ≤ x ≤ y + 6

E ao olharmos o gráfico, vemos que

- 2 ≤ y ≤ 3

Então a integral fica

V = ∫ - 2 3 ∫ y 2 y + 6 4 y 3   d x d y

resolvendo temos:

V = ∫ - 2 3 ∫ y 2 y + 6 4 y 3   d x d y = ∫ - 2 3 4 y 4 + 24 y 3 - 4 y 5   d y

Integrando temos:

∫ - 2 3 4 y 4 + 24 y 3 - 4 y 5   d y = 4 y 5 / 5 + 6 y 4 - 4 y 6 / 6   | y = 3 y = - 2

= 972 / 5   -   416 / 15

= 500 / 3

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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Determine o volume do sólido dado.Limitado pelos planos x = 0 , y = 0 , z = 0 e x + y + z = 1
Determine o volume do sólido dado.Abaixo do paraboloide z = 3 x 2 + y 2 e acima da região delimitada por y = x e x = y 2 - y .
Calcule as integrais iteradas.int_0^1 int_(x^2)^x ( 1 + 2 y ) d y d x
Calcule a integral dupla. ∬ Dy 2 e x y d A, D = x ,y0 ≤ y ≤ 4,0 ≤ x ≤ y }
Calcule as integrais iteradas. ∫ 0 1 ∫ 0 x 2 ( x + 2 y ) d y d x